Wärmeübertragung einer verallgemeinerten Flüssigkeit zweiter Klasse mit MHD, Strahlung und exponentieller Erwärmung unter Verwendung von Caputo

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 5220 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Anwendung der Caputo-Fabrizio-Fraktionsableitung auf die Wärmeumwandlung instationärer inkompressibler Flüssigkeiten zweiten Grades. Die Auswirkungen von Magnetohydrodynamik und Strahlung werden analysiert. In der maßgeblichen Gleichung der Wärmeübertragung wird nichtlineare Strahlungswärme untersucht. An der Grenze werden exponentielle Erwärmungsphänomene berücksichtigt. Zunächst werden die maßgebenden Gleichungen mit den Anfangs- und Randbedingungen in eine nichtdimensionale Form umgewandelt. Mithilfe der Laplace-Transformationsmethode werden exakte analytische Lösungen für dimensionslose gebrochene Gleichungen erhalten, die aus Impuls- und Energiegleichungen bestehen. Es werden Sonderfälle der erhaltenen Lösungen untersucht und es wird festgestellt, dass aus diesen Sonderfällen einige bekannte, in der Literatur veröffentlichte Ergebnisse erzielt werden. Abschließend werden zur grafischen Veranschaulichung die Einflüsse verschiedener physikalischer Parameter wie Strahlung, Prandtl, Bruchparameter, Grashof-Zahlen und Magnetohydrodynamik grafisch überprüft.

Die Theorie der Ableitungen gebrochener Ordnung hat im täglichen Leben große Bedeutung. Als ganzzahlige Ordnung ist auch die Theorie der nichtganzzahligen Ordnung die älteste. Es handelt sich um den Zweig der Mathematik. Vor einigen Jahren war dieses Konzept nur auf die Mathematik beschränkt, doch heutzutage werden die Prinzipien der Bruchrechnung häufig auf verschiedene Bereiche wie Fluiddynamik, Biotechnik, Elektromagnetismus, Strömungsmechanik und Finanzen übertragen , Elektrochemie, Viskoelastizität, in der Biologie das Modell der Neuronen, angewandte Mathematik1. In der Fluiddynamik wurde das Konzept der nicht ganzzahligen Ableitungen verwendet, um viskoelastische Prozesse wie Polymere im Glaszustand und im Glasübergang zu untersuchen2. Vor einigen Jahren wurde festgestellt, dass Ableitungen gebrochener Ordnung ein wirksames Werkzeug sind, mit dem eine geeignete Verallgemeinerung physikalischer Konzepte gewonnen werden kann. Es gibt so viele andere Definitionen von Ableitungen mit nicht ganzzahliger Ordnung, aber die Caputo-Bruchableitungen und die Riemann-Liouvilli-Bruchableitungen werden in verschiedenen Phänomenen der realen Welt verwendet3,4. Jeder weiß, dass solche Methoden in der Anwendung Schwierigkeiten bereiten. Beispielsweise ist die Ableitung einer Konstanten in der Riemann-Liouvilli-Ableitung gebrochener Ordnung ungleich Null und hat außerdem einen singulären Kern. Diese Schwierigkeiten wurden von Caputo beseitigt und das Konzept geschaffen, bei dem die Konstante keine Ableitung hat, aber immer noch einen singulären Kern hat. Nach alledem präsentierten Fabrizio und Caputo die Idee einer Ableitung nicht ganzzahliger Ordnung, bei der die Konstante die Ableitung Null und keinen singulären Kern hat. Mit der Laplace-Technik ist die gebrochene Caputo-Febrizio-Ableitung leicht, eine exakte Lösung zu finden. Viele bestehende Fluidmodelle wurden untersucht und eine Ableitung gebrochener Ordnung entwickelt. Einige bekannte Fluidmodelle werden hier vorgestellt, wie die Fluidmodelle Oldroyd-B, Maxwell, Grade Second, Burger und Jeffery usw. Die Burger-, Maxwell- und Oldroyd-Modelle sind Ratenmodelle, während die Grade Second Modelle vom Differentialtyp sind5. Laut Tan et al.6 untersuchten sie die verallgemeinerte instationäre Strömung einer nicht-Newtonschen Flüssigkeit zweiten Grades zwischen zwei parallelen Platten mit dem Modell nicht-ganzzahliger Ableitungen. Kürzlich untersuchte Friedrich7 das Flüssigkeitsmodell einer gewöhnlichen Maxwell-Flüssigkeit mit Ableitung gebrochener Ordnung, die die Funktion der Entspannung und Verzögerung verallgemeinerte. In früheren Studien analysierten Tan et al.8 eine kurze Notiz über nichtganzzahlige Maxwell-Flüssigkeiten mit instationärer viskoelastischer Flüssigkeitsströmung zwischen zwei parallelen Platten. Das in9 untersuchte nicht-ganzzahlige viskoelastische Maxwell-Flüssigkeitsmodell mit einem gerichteten periodischen Flüssigkeitsfluss. Das Modell der fraktionierten Maxwell-Flüssigkeit von viskoelastischem Material in Rohren wurde von Yin et al.10 untersucht. Flüssigkeit vom Brikman-Typ durch fraktionierte Caputo-Ableitung wird in11 untersucht. Die Auswirkungen von Parametern in generalisierter Flüssigkeit zweiten Grades werden in12 diskutiert. Die Ableitung nicht ganzzahliger Maxwell-Ordnung für das erste Stokes-Problem wird in13 untersucht. Khan et al.14 untersuchten das verallgemeinerte modifizierte Darcy-Gesetz mit Oldroyd-B-Flüssigkeit, um genaue Lösungen für die Magnetohydrodynamik zu erhalten. Khan et al.15 untersuchten das Burgers-Flüssigkeitsmodell der viskoelastischen Nicht-Ganzzahl bei beschleunigten Strömungen. Unter Verwendung der nicht ganzzahligen Ableitung von Caputo Fabrizio wurde eine Wärmeübertragungsflüssigkeit zweiter Klasse über und eine oszillierende senkrechte Oberfläche untersucht, die in16 untersucht wurde. Untersucht wurde der Wärmestoffübergang in der Flüssigkeit dritten Grades mit chemischer Reaktion auf einer dehnbaren Folie, die in einem porösen Medium fixiert ist. Abbas et al.17 untersuchten die thermische Diffusion von Flüssigkeiten dritten Grades mit der Darcy-Forchheimer-Beziehung auf einer dehnbaren Folie. Die Analyse der Wärmeübertragung in der Atangana-Baleanu-Ableitung auf Newtonsche Erwärmungs- und Konvektionsströmungen von Caputo-Fabrizio mit Flüssigkeiten zweiter Klasse wird in18 untersucht. Kürzlich untersuchte er unter Verwendung der nicht ganzzahligen Ableitung von Caputo Fabrizio die exponentielle Erwärmung und den magnetohydrodynamischen Fluss von Flüssigkeiten zweiter Klasse in19. Saqib et al.20 untersuchten den Jeffery-Flüssigkeitsfluss mithilfe der Caputo-Fabrizio-Ableitung und erhielten exakte Lösungen. Raptis et al.21 untersuchten den MHD-Einfluss der Wärmestrahlung über eine dehnbare Folie. Der Einfluss der Wärmestrahlung auf MHD wird in22 untersucht. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, die Analyse verallgemeinerter nicht-newtonscher Flüssigkeiten zweiten Grades auf Magnetohydrodynamik und Wärmestrahlung unter Verwendung des Caputo-Fabrizio-Ansatzes für fraktionierte Ableitungen zu diskutieren. Aus thermischer Sicht sind exponentielle Erwärmungsphänomene zu berücksichtigen.

Betrachten Sie die inkompressible nicht-Newtonsche Flüssigkeit zweiter Klasse. Für die Zeit t = 0 sind zunächst die Temperatur T∞ und die Geschwindigkeit Null. Mit Beginn der Zeit für t = 0+ wird die Fluidgeschwindigkeit zu \(fH(t)e^{i\omega t}\), hier ist H(t) die Einheitsschrittfunktion und die Temperatur erreicht \(T_{\infty } + T_{\omega } (1 - ae^{ - bt} )\). Nach all diesen Annahmen sind sowohl Temperatur als auch Geschwindigkeit nur eine Funktion der Raumvariablen „y“ und der Zeit „t“. Nun wird die instationäre Strömung durch die übliche Boussinesq-Näherung16 durch den folgenden Satz partieller Differentialgleichungen bestimmt. Das schematische Diagramm, das beim Flüssigkeitsströmungsproblem verwendet wird, wird geometrisch in Abb. 1 dargestellt.

Geometrie des Problems.

Für die Strahlungsnäherung wird Rosseland verwendet23, wir haben

Indem wir die höheren Terme mit Hilfe der Taylor-Reihe vernachlässigen, drücken wir T4 als lineare Funktion aus,

Ausgangs- und Randbedingung:

Dimensionslose Variable:

Nach dimensionslosen Gl. (1)–(5) erhalten wir

Verwenden Sie nun die Caputo-Fabrizio-Zeitableitung in den Gleichungen. (7) und (8) erhalten wir das unten angegebene System:

Um die Lösungen der maßgeblichen Gleichungen zu erhalten, verwenden wir die Laplace-Transformationstechnik. Zuerst finden wir die Lösung der Energiegleichungen, weil die Impulsgleichung davon abhängt. Nehmen wir nun die Laplace-Transformation von Gl. (12) mit Anfangs- und Randbedingungen Gl. (9) und (10) ergeben sich folgende Gleichungen:

Lösen von Gl. (15) mit Hilfe von Gl. (16) Wir erhalten eine transformierte Lösung, die gegeben ist

Um nun die genaue analytische Lösung der Energiegleichung zu finden, nehmen wir die inverse Laplace-Transformation von Gl. (17) Unter Verwendung der Anhänge A1 und A2 erhalten wir die Lösung, die in Gleichung (17) dargestellt ist. (18)

Um die Geschwindigkeitsgleichung zu finden, verwenden wir die Laplace-Transformation von Gl. (12) mit anfänglichen Randbedingungen Gl. (9) und (10), nun ist die transformierte Gleichung mit den transformierten anfänglichen Randbedingungen in den Gleichungen angegeben. (19) und (20):

Lösen von Gl. (19) mit Hilfe von Gl. (20) Wir erhalten die Transformation, die in Gleichung dargestellt ist. (21)

Wo; \(a_{1} = \frac{M + \gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }},a_{2} = \frac{M\alpha \gamma }{{1 + \alpha_{ 2} \gamma }},a_{3} = \frac{\alpha \gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }},h_{1} = - \frac{Gr\xi }{{\ Pr \gamma + \Pr \gamma^{2} \alpha_{2} - M\xi - \gamma \xi }},\)

Um die genaue analytische Lösung der Impulsgleichung zu erhalten, nehmen wir die inverse Laplace-Transformation von Gl. (21) Wir erhalten die Lösung, die in Gl. angegeben ist. (22) unter Verwendung der Anhänge A1, A2 und A4,

(i) Ohne Strahlungseffekt \(N = 0\) und unter Vernachlässigung der exponentiellen Erwärmung der Platte.

In Gl. (8) Wenn wir \(N = 0\) setzen, erhalten wir die Lösung in der Form wie unter:

wobei \(\varphi \left( {y, \, t, \, p_{r} \gamma , \, \alpha \gamma } \right) \) durch den Anhang (A1) definiert ist.

Das Ergebnis stimmt mit dem in der veröffentlichten Literatur von Shah und Khan erzielten Ergebnis überein16.

Auch unter Vernachlässigung des Strahlungseffekts in Gl. (7) Wir erhalten die Lösung für die Geschwindigkeitsgleichung, die wie folgt angegeben ist:

wobei \(a_{1} = \frac{\gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }}, \, a_{2} = \, \alpha a_{1}\) und \(\varphi \left( {y, \tau ,a_{1} ,a_{2} } \right)\) ist durch den Anhang (A1) definiert.

Das Ergebnis stimmt mit dem in der veröffentlichten Literatur von Shah und Khan erzielten Ergebnis überein16.

Mithilfe der Mathcad-Software werden verschiedene physikalische Parameter skizziert, um die Auswirkungen von Flüssigkeitsgeschwindigkeit und -temperatur zu analysieren. Für das Temperaturfeld sind der Parameter Alpha α in Abb. 2, die Prandtl-Zahl Pr in Abb. 3 und die Wärmestrahlung in Abb. 4 eingezeichnet, während für das Geschwindigkeitsfeld Alpha α in Abb. 5 die Prandtl-Zahl Pr in Abb. 6, Magnetohydro, eingezeichnet ist Dargestellt sind die dynamische MHD in Abb. 7 und die Grashof-Zahl Gr in Abb. 8.

Diagramm der Temperatur für verschiedene Werte von Alpha α.

Diagramm der Temperatur für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl Pr.

Diagramm der Temperatur für verschiedene Strahlungswerte N.

Diagramm der Geschwindigkeit für verschiedene Werte von Alpha α bei Kosinus- und Sinusschwingung.

Diagramm der Geschwindigkeit für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl Pr bei Kosinus- und Sinusschwingung.

Diagramm der Geschwindigkeit für verschiedene Werte von M bei Kosinus- und Sinusschwingung.

Diagramm der Geschwindigkeit für verschiedene Werte der Grashof-Zahl Gr bei Kosinus- und Sinusschwingung.

Abbildung 2 ist eine Skizze zur Überprüfung der Auswirkungen von Temperatur und Alpha α, in der wir gesehen haben, dass diese Temperatur mit zunehmendem Wert von α ansteigt und die thermische Dicke der Grenzschicht mit dem Parameter Alpha α und der Zeit t zunimmt. Abbildung 3 ist eine Skizze zur Überprüfung des Einflusses von Temperatur und Prandtl-Pr, in der wir beobachtet haben, dass die Temperatur mit steigendem Wert von Prandtl-Pr abnimmt, die Dicke der thermischen Grenzschicht mit dem Parameter Prandtl-Zahl Pr und der Zeit t abnimmt und die Diffusivität der Temperatur beträgt groß. Abbildung 4 ist eine Skizze zur Überprüfung der Auswirkungen von Temperatur und Wärmestrahlung N. Es wurde untersucht, dass durch die Vergrößerung des kleinen Werts der Wärmestrahlung N auch die Temperatur steigt. In der Grafik ist die Temperatur gegen y aufgetragen. Abbildung 5 ist gezeichnet, um den Einfluss von Alpha α zu überprüfen. Es werden beide Fälle von Sinus- und Kosinusschwingungen besprochen, in denen wir untersuchen, wie sich die Flüssigkeitsgeschwindigkeit durch Erhöhen des Wertes von Alpha α verringert. Diese Grafik zeigt sowohl die Auswirkungen der Kosinus- als auch der Sinusschwingung für Flüssigkeiten. Die Auswirkungen der Sinusschwingung sind durch die Erhöhung der Zeit t größer als die der Kosinusschwingung. Abbildung 6 ist gezeichnet, um die Prandtl-Pr-Effekte auf die Flüssigkeitsgeschwindigkeit zu untersuchen. Es wurden einzeln die Fälle von Sinus- und Kosinusschwingungen betrachtet, in denen wir dies betonten, indem wir die kleinen Werte der Prandtl-Pr-Zahl vergrößerten und die Geschwindigkeit abnahm. Abbildung 7 ist gezeichnet, um das Verhalten der magnetohydrodynamischen M zu untersuchen. Es werden sowohl Fälle von Sinus- als auch Kosinusschwingungen berücksichtigt, bei denen wir festgestellt haben, dass bei kleinen MHD-Werten die Geschwindigkeit abnimmt. Die Auswirkungen der Sinusschwingung sind durch die Erhöhung der Zeit t größer als die der Kosinusschwingung. Abbildung 8 ist gezeichnet, um den Einfluss der Grashof-Zahl zu beobachten. Es werden sowohl Fälle von Sinus- als auch Kosinusschwingungen betrachtet, bei denen wir festgestellt haben, dass die Flüssigkeitsgeschwindigkeit mit zunehmendem Wert von Gr zunimmt. Die Auswirkungen der Sinusschwingung sind durch die Erhöhung der Zeit t größer als die der Kosinusschwingung. In Abb. 9 haben wir die erhaltenen Lösungen als Grenzfälle mit denen von Shah und Khan16 verglichen.

Geschwindigkeits- und Temperaturprofil mit Vergleich der veröffentlichten Literatur von Shah & Khan.

Numerische Ergebnisse der Hautreibung und der Nusselt-Zahl an der Platte \(\left( {y = 0} \right)\) sind in den Tabellen 1 und 2 für verschiedene Werte von \(\left( t \right)\) dargestellt. \(\left( \alpha \right)\), \(\left( N \right)\), \(\left( M \right)\),\(\left( {\Pr } \right)\ ) und \(\left( {Gr} \right)\). Aus Tabelle 1 geht hervor, dass die Hautreibung \(\left( \tau \right)\) mit einer Zunahme von \(\left( t \right)\), \(\left( N \right)\) und zunimmt \(\left( {Gr} \right)\), während sich das Ergebnis mit der Zunahme von \(\left( \alpha \right)\), \(\left( M \right)\) und \(\left ( {\Pr } \right)\) in Tabelle 1. Numerische Ergebnisse der Nusselt-Zahl \(\left( {Nu} \right)\) an der Platte \(\left( {y = 0} \right)\) werden in Tabellen 2 für verschiedene Werte von \(\left( t \right)\), \(\left( \alpha \right)\), \(\left( N \right)\) und \(\left ( {\Pr } \right)\). Tabelle 2 zeigt, dass die Nusselt-Zahl Nu, die die Wärmeübertragungsrate an der Platte bestimmt, mit zunehmendem \(\left( \alpha \right)\) und \(\left( {\Pr } \right)\) zunimmt Das Ergebnis wird mit der Zunahme von \(\left( t \right)\) und \(\left( N \right)\) umgekehrt.

Es wird die instationäre freie Konvektionsströmung einer verallgemeinerten Flüssigkeit zweiten Grades über einer unendlichen vertikalen Platte untersucht. Die Strömung wird unter dem Einfluss von Magnetohydrodynamik und Strahlung sowie der Wärmeübertragung analysiert. Darüber hinaus berücksichtigen wir bei den thermischen Aspekten der unendlichen vertikalen Platte die exponentiellen Erwärmungsphänomene. Die Caputo-Fabrizio-Ableitung wurde auf den Satz dimensionsloser maßgeblicher Gleichungen angewendet. Eine genaue Lösung des Problems wird durch die Laplace-Transformationstechnik erreicht. Die Profile (Temperatur und Geschwindigkeit) werden grafisch sowohl für Sinus- als auch für Kosinusschwingungen der Platte für bestimmte physikalische Parameter analysiert.

Das wird beobachtet.

Durch die Erhöhung des Bruchparameters α und der Strahlung N erhöht sich auch die Temperatur.

Mit zunehmender Prandtl-Zahl kann die Temperatur gesenkt werden.

Die Geschwindigkeit nimmt mit zunehmendem α-Parameter ab und daher verhalten sich Geschwindigkeit und Temperatur für den α-Parameter entgegengesetzt.

Bei einem großen Wert der Prandtl-Zahl nimmt die Flüssigkeitsgeschwindigkeit tendenziell ab.

Die Bewegung der Flüssigkeit nimmt mit steigendem MHD-Wert ab.

Die Geschwindigkeit wächst um den großen Wert Gr.

Die während der aktuellen Studie analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

Spezifische Wärme

Schwerkraft (Beschleunigung)

Strahlungsparameter

Grashof-Nummer

Wandtemperatur

Viskosität (kinematisch)

Flüssigkeitsdichte

Elektrische Leitfähigkeit

Flüssigkeitstemperatur

Prandtl-Nummer

Koeffizient der mittleren Absorption

Konstante (Stefan–Boltzmann)

Zweiten Parameter bewerten

Gleichmäßiges Magnetfeld

Volumenkoeffizient der Wärmeausdehnung

Zeit

Laplace-Transformationsparameter

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Iljas Khan

Forschungszentrum, Future University in Egypt, New Cairo, 11835, Ägypten

Abdullah Mohamed

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SS hat die Studie entworfen; AN führte die Experimente mit technischer Unterstützung von SH, SUJ und IK durch, analysierte die Daten und verfasste die Arbeit. AM berechnete Sonderfallergebnisse mit Diskussion und überarbeitetem Manuskript.

Korrespondenz mit Ilyas Khan.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Sehra, S., Noor, A., Haq, SU et al. Wärmeübertragung einer verallgemeinerten Flüssigkeit zweiter Klasse mit MHD, Strahlung und exponentieller Erwärmung unter Verwendung des Caputo-Fabrizio-Ansatzes mit fraktionierten Ableitungen. Sci Rep 13, 5220 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-022-22665-4

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Eingegangen: 15. Mai 2022

Angenommen: 18. Oktober 2022

Veröffentlicht: 30. März 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-22665-4

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